"Vivaldi: Four Seasons - Winter"

Τρίτη, 13 Ιανουαρίου 2009

Γεωμετρία και ψυχή του ανθρώπου


Από τα μαθήματα του σχολείου αυτό που προτιμούσα ήταν τα μαθηματικά - όχι στο Δημοτικό αλλά μετά. Παράξενο θα μου πείτε να μου αρέσουν ξεροί μαθηματικοί τύποι και στεγνοί υπολογισμοί με σύμβολα. Ήμουνα ασφαλώς ο μαθηματικός της τάξης, και τώρα που το σκέφτομαι, συλλογίζομαι τι τιμή και αυτή! Ειδικά σε ένα ‘ελιτίστικο’ σχολείο (τύπου Βαρβάκειου ή Ιωννίδειου Σχολής) που ο χαμηλότερος βαθμός μαθητή ήταν το δεκάξι και που οι συμμαθητές μου σάρωσαν στα Πανεπιστήμια και παραπέρα. Εμένα βέβαια τότε με ενδιέφερε βασικά πως θα με προσέξουν τα κορίτσια της τάξης, ιδιαίτερα κάποιες επιλεγμένες που είχα εστιάσει την προσοχή μου, για τα υπόλοιπα δεν πολυσκοτιζόμουνα. Για το πώς έγιναν όλα αυτά θα σας διηγηθώ μια άλλη φορά.



Η Γεωμετρία ήταν αυτή που με συνάρπαζε, η θεωρητική, όχι εκείνη με τα διανύσματα. Ξυπνάει τη φαντασία, το σχεδιασμό, δίνει τόσες προεκτάσεις. Πιο πολύ έκανα κέφι τους γεωμετρικούς τόπους και τις κατασκευές. Με κανόνα (χάρακα δηλαδή) και διαβήτη για να μην μπερδευόμαστε. Και για να μην νομίζετε πως ήμουνα κανένας σπασίκλας και όλη την ημέρα αυτό έκανα μονάχα, θα σας εξηγήσω τις προεκτάσεις τους.


Αρχικά ας συμφωνήσουμε ότι ένα γεωμετρικό πρόβλημα έχει γεωμετρική λύση όταν η κατασκευή του ζητούμενου σχήματος μπορεί να γίνει με δύο όργανα, τον κανόνα και το διαβήτη. Η λύση των προβλημάτων με τον κανόνα και τον διαβήτη επικράτησε από την αρχαιότητα για τον εξής λόγο: Με εκπροσώπους τον Πυθαγόρα και πάνω από όλους τον Πλάτωνα, η Γεωμετρία πάρθηκε σαν μέσο για να πλησιάσουμε την έννοια του Όντος δηλαδή του Θεού. Ο Πλάτων πιστεύει ότι η έννοια του Όντος για να γίνει κατανοητή χρειάζεται και την έννοια του μη Όντος και σαν τέτοιο θεωρεί το Χώρο μέσα στον οποίο εμφανίζεται ο “γίγνεσθαι” και το “φθείρεσθαι” (η γέννηση και η φθορά δηλαδή). Ο Ήρωνας ο Αλεξανδρινός μας πληροφορεί για τις εξής απόψεις του Πλάτωνα: Η ευθεία γραμμή, επειδή εκτείνεται στο άπειρο και χωρίζεται σε οσαδήποτε τμήματα, συμβολίζει την αιώνια γέννηση και φθορά του κόσμου. Η περιφέρεια του κύκλου, επειδή δεν αρχή και τέλος, συμβολίζει το πνεύμα δηλαδή τον Θεό. Η τομή της ευθείας και της περιφέρειας συμβολίζει την ψυχή του ανθρώπου, γιατί η ψυχή συμμετέχει στο σώμα με τη γέννηση και τη φθορά και με την αθανασία της στο Θεό. Είδατε επομένως πόσο Ιερά είναι τα όργανα σχεδίασης της ευθείας και της περιφέρειας;



Ελάτε να κατασκευάσουμε σχήματα μαζί, να χαράξουμε τις ευθείες και τους κύκλους, να βρούμε τις τομές της ψυχής μας.


-----------------------------------------------------

Ερώτηση:
Θυμάστε τα διασημότερα απλά γεωμετρικά προβλήματα που δεν έχουν γεωμετρικές λύσεις; (δηλαδή δεν κατασκευάζονται με κανόνα και διαβήτη). Αν βρείτε μέχρι τρία, είστε πολύ καλοί. Από τέσσερα και πάνω, υποκλίνομαι. Αναφορές, διαδίκτυο, βιβλιογραφία, όλα δεκτά.

20 σχόλια:

Dimitra είπε...

Φίλε museum το θέμα σου είναι από τα καλύτερα που έχω διαβάσει είναι υπέροχο και για λίγους. Δεν θα μπορούσα να φανταστώ ότι έχουν σχέση τα μαθηματικά με την ψυχή και όλα αυτά που γράφεις, μπράβο σου. Στην ερώτηση σου δυστυχώς δεν ξέρω καμία απάντηση.

Καλημέρα!

Kostas είπε...

Καλησπέρα museum. Ωραίο το θέμα σου αλλά λίγο δύσκολο. Νομίζω ότι η σημερινή νεολαία δεν έχει ιδέα από τέτοια δυστυχώς. Μόνο υπολογιστή χωρίς κριτική και παπαγαλία γνώσεων στην τεχνολογία. Σ'αυτά που ρωτάς ξέρω το τετραγωνισμό του κύκλου. Έλεγαν οι μεγάλοι: Καλά δεν σου είπαμε να τετραγωνίσεις και τον κύκλο;

silia είπε...

Αν και μισούσα (μάλλον φοβόμουν) τα Μαθηματικά (και είναι και ο λογος που έγινα γιατρός , αντί να πάω στο Πολυτεχνείο), εν τούτοις τα μελετούσα φιλότιμα και προσπαθούσα να τα προσεγγίσω από την … φιλοσοφική τους πλευρά .
Λοιπόν έχουμε και λέμε :
1ον. Ο τετραγωνισμός του κύκλου
Με τον τετρ. του κ. ασχολήθηκαν πολλά μεγάλα μυαλά της Αρχαιότητας , όπως ο Αναξαγόρας ο Κλαζομένιος (φυσικός φιλόσοφος , ο Αντιφών (Αθηναίος σοφιστής) , ο Βρύσων (σοφιστής) , ο Δεινόστρατος (Μαθηματικός και γεωμέτρης) , ο Ιπποκράτης ο Χίος (όχι ο γιατρός , αλλά μαθηματικός σύγχρονος του Σωκράτη , αλλά και ο ίδιο; Ο Σωκράτης αλλά και ο Αριστοτέλης από την φιλοσοφική σκοπιά .
Εγώ θα σου αναφέρω μόνο το τι είπε ο … Αριστοφάνης (ναι , ναι … ο γνωστός κωμωδιογράφος) δια του στόματος του Μέτωνα , μαθηματικού και αστρονόμου της εποχής , στις «Ορνιθες» του στ.1004-1005 (μετάφραση) :
«Θα μετρήσω με ορθογώνιο κανόνα και θα προσθέσω , εννοείται τα τμήματα , για να σου τετραγωνίσω τον κύκλο» Αυτό το λέει πιθανά με σκοπό να να ειρωνευτεί τους επιχειρούντες να λύσουν το πρόβλημα με κανόνα και διαβήτη , , που είναι … αδύνατον .
2ον . Δήλιον πρόβλημα
Ή αλλιώς , ο διπλασιασμός του κύκλου . Οι κάτοικοι της Δήλου , κατέφυγαν στο Μαντείο των Δελφών , για να συμβουλευθούν με ποιον τρόπο θα γλύτωναν από τον λοιμό (αρρώστια-επιδημία) που μάστιζε εκείνη την εποχή το νησί τους . Το Μαντείο μη ξέροντας τι να πει , απάντησε πως για να απαλλαγούν έπρεπε πρώτα να διπλασιάσουν σε όγκο , τον κυβικό βωμό του Απόλλωνα , πράγμα που προύποθέτει πως πρέπει να βρεθεί η ακμή κύβου , διπλάσιου σε όγκο από άλλον δοθέντα , πράγμα , αδύνατον .
3ον . Τριχοτόμηση της γωνίας
Φυσικά , μιλάμε , για την οξεία γωνία , που είναι αδύνατον να τριχοτομηθεί . Η ορθή μόνο τριχοτομείται , από δε την αμβλεία , αφαιρούμε την ορθή , που τριχοτομείται και πάλι περιπίπτουμε στο γνωστό Αδύνατον της τριχοτόμησης της γωνίας .
------------------------------
Φίλε Mouseum : Πιστεύω (πλήρης ματαιοδοξίας , πως θα με βαθμολογήσεις με το «Λίαν καλώς» …
Αλλά , επειδή θα ήθελα να δώ , να … υποκλίνεσαι μπροστά μου (και τι στον κόσμο) , θα γράψω άλλο ένα
4ον . Το αέναον και ατελεύτητον του «π» (=3,14….. )
«Αεί ο θεός ο μέγας γεωμετρεί …..»
-----------------------------
Συγγνώμη για το «σεντόνι» , αλλά δεν γινόταν με λιγότερα λόγια .
Θέλω να ζητήσω μια χάρη . Να διαβάσεις αν σου είναι μπορετό το διήγημα μου , που αναρτήθηκε σε τρεις συνέχειες στο μπλογκ μου με τον τίιλο «ΤΙ ΚΡΥΒΕΤΑΙ ΠΙΣΩ ΑΠΟ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ» τον Σεπτέμβριο του 2007
Την αγάπη μου

silia είπε...

Στο 2ον , ήθελα να γράψω "Ο διπλασιασμός του Κύβου" και όχι του κύκλου ...
Διόρθωσέ το αν γίνεται ...
Η κούραση βλέπεις ...

museum είπε...

@Dimitra

Αγαπητή Δήμητρα, σε ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια μα θα σου πω πως το θέμα μου είναι για πολλούς. Είναι ωραίο όταν διαβάζουμε να προσπαθούμε να βρίσκουμε τις αιτίες που τα πράγματα είναι έτσι, να δίνουμε προεκτάσεις σχετικές με τους ανθρώπους και την ψυχή τους.

museum είπε...

@ Kostas

Καλημέρα φίλε Κώστα. Αν και δεν έχω σήμερα την αίσθηση της νεολαίας, νομίζω πως οι έτοιμες λύσεις, κυρίως στην τεχνολογία, μας έχουν αφαιρέσει κάτι από τη δυνατότητα της σκέψης μας. Ίσως όλα αυτά τα γεωμετρικά να φαντάζουν σήμερα γραφικά, γεμίσαμε μόνο από χρηστικές γνώσεις χωρίς προεκτάσεις. Μπράβο για τον κύκλο.

museum είπε...

@silia

Αγαπητή silia. Αρχικά σαν ιππότης θα σου υποκλιθώ βαθιά και για το ότι βρήκες τα τρία ιστορικά άλυτα προβλήματα κατασκευών και το ότι τα έδωσες με όλες τις αναλύσεις, ιστορικές λεπτομέρειες και περιστατικά .Όσο για το π, τι μου θύμισες τώρα. Δεν είμαι σίγουρος αν αυτό είναι ακριβώς αδύνατη γεωμετρική κατασκευή (εκτός και αν εννοούμε να κατασκευάσουμε ευθύγραμμο τμήμα με κανόνα και διαβήτη με μήκος π, που όμως δεν είναι ακριβώς προσδιορισμένος αριθμός), θα το έλεγα αλγεβρικό – γεωμετρικό θαύμα. Το κατατάσσω όμως μπροστά από τα άλλα τρία. Και η πρόταση «Αεί ο θεός ο μέγας γεωμετρεί …..», από μόνη της είναι Θεϊκή.

Ας σου αναφέρω ένα-δύο ακόμα άλυτα γεωμετρικά προβλήματα έτσι απλά για να συμπληρώσουμε την εικόνα:
- Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα συμμετρικά των κορυφών ως προς τις απέναντι πλευρές.
- Να κατασκευαστεί τρίγωνο από τα ίχνη των εσωτερικών διχοτόμων.
Τα διαβάζεις αυτά, νιώθεις την απίστευτη πνευματική υπεροχή τους και όταν σου λέει ο άλλος ότι .. βγήκε υπολογιστής με .. διπλάσια μνήμη, είναι σαν να του λες:
«Τι να μας πεις τώρα κι εσύ για τη ζωή σου;»

Εννοείται ότι κατάλαβα για τον διπλασιασμό του Κύβου που εννοούσες. Τέτοια τυπογραφικά συμβαίνουν.

Με αγάπη

petselas είπε...

OK

Dinos είπε...

Συμμαθητή museum. Ανοίγεις ένα θέμα σχετικά με τη Γεωμετρία. Και ζητάς και τη συμμετοχή μας. Ξεχνάς όμως ότι στην επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων ήσουν "άπαικτος". Έβρισκες τη λύση χωρίς να χρειάζεσαι καν γεωμετρικό σχήμα. Οπότε επειδή εσύ δεν μας άφηνες χώρο, εμείς οι συμμαθητές σου (που αγαπούσαμε τα Μαθηματικά) έπρεπε να στραφούμε (όπως και έγινε) στην Άλγεβρα,στην Αναλυση στην Τριγωνομετρία. Έτσι για Γεωμετρία δεν δικαιούμαι να ομιλώ μπροστά σου.

Ανώνυμος είπε...

MUSEUM,από το δημοτικό μου άρεσαν μόνο τα μαθηματικά, όχι η γεωμετρία.
Η Μασονία συνδέει την γεωμετρία με την ψυχή-Θεό, βλέπε διαβήτη και τρίγωνο(σήμα των Μασόνων)!

efi είπε...

Αχ τι μου θύμισες Museum,θυμάμαι που ο πατέρας μου, μου έδινε να διαβάζω κάτι παλιά βιβλία γεωμετρίας του Τόγκα,μήπως πέσει καμιά άσκηση διαφορετική στο σχολείο, που συνήθως έπεφτε!Την γεωμετρία, εμβαδά κυρίως τα χρησιμοποιώ στη δουλειά μου.Οστόσο αν υπάρχει σχέση της γεωμετρίας με την ψυχή του ανθρώπου, για μένα υπάρχει, γιατί σαν μαθήτρια έβλεπα όνειρα ότι ο καθηγητής έβαζε δύσκολα προβλήματα γεωμετρίας και δεν μπορούσα να τα λύσω και είχα άγχος όλο το βράδυ!Ενώ για τα μαθηματικά ήμουν σίγουρη ότι τα ξέρω καλά και δεν φοβόμουν!

museum είπε...

@Dinos

Ντίνο με σκλαβώνεις τώρα με αυτά που μου λες! Ευχαριστώ αγαπημένε μου φίλε! Να σου επισημάνω ακόμα πως ποτέ δεν είδα τη Γεωμετρία σαν πεδίο ανταγωνισμού. Μας χωρούσε όλους, στην ήρεμη ανταλλαγή σκέψεων, συναισθημάτων, παραστάσεων. Σε μία απεικόνιση τους, δυσδιάστατη ή τρισδιάστατη δεν έχει σημασία, για καλύτερη κατανόηση, ανάλυση, συζήτηση.

museum είπε...

@Ανώνυμος

Μασονία, τις λες; Παραλλαγή είναι με το τρίγωνο. Όπως και να έχει οι απόψεις και οι συμβολισμοί των αρχαίων δεν ανήκουν σε κανέναν. Ευτυχώς που δεν τα γνώρισα από αυτούς, ίσως και να μη μου άρεσαν.

museum είπε...

@ efi

Βλέπω ότι η Γεωμετρία ξυπνούσε τα εσώψυχά σου με αρνητικό τρόπο, μικρούς εφιάλτες στο υποσυνείδητό σου. Σουρρεαλιστική προέκταση λοιπόν η Γεωμετρία. Μόνο με το άγχος απορώ γιατί το μάθημα είναι δημιουργικό. Θα φταίει η αναχρονιστική μέθοδος του δασκάλου.

Απορία μου: Μήπως ήταν ο Φρόϋντ Γεωμέτρης;

Ανώνυμος είπε...

O αγαπητός φίλος museum εφάρμοσε τα βασικά γεωμετρικά σχήματα, που τόσο αγαπούσε και άλλο τόσο τον αγαπούσαν κι' αυτά και στην προσωπική του ζωή. Χάραξε έναν κύκλο γύρω από το κέντρο της πόλης που γεννήθηκε και αγάπησε και αποφάσισε σαν το Σωκράτη να μείνει μέσα σε αυτόν (και επαγγελματικά).
Επίσης χάραξε μια ημιευθεία, με αρχή τη στιγμή της γέννησής του πάνω στην οποία βαδίζει συνεχώς (και εμπρός) εμπλουτίζοντας τον εαυτό του και εκπλήσσοντας κι εμάς με τις πολυσχιδείς δραστηριότητές του και ενδιαφέροντα.

issallos είπε...

περαστικος ημουν..απο το μπλογκ της ΛΙΛΙΘ...και ενα ΤΡΙΓΩΝΟ μου εδειχνε προς τα εδω.....
και εκατσα στο ΤΕΤΡΑΓΩΝΟ σκαμπο
που εχω μπροστα στον υπολογιστη
και διαβασα...τους ΚΥΚΛΟΥΣ που κανεις γραφοντας ΓΙΑ ΤΟΤΕ...που ησουν στο σχολειο...και μεταφεροντας μικρα ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΑ στο
τωρα...
τελικα η γεωμετρια θα βρισκεται κρυμμενη παντου....η το ΣΚΑΛΙΝΟ μυαλο μας ψαχνει τροπους να εκφραστει καπως μυστηρια και ανορθοδοξα... βρισκοντας τα ΟΡΙΑ της υπαρξης μας....ΚΕΝΑ...

ΥΓ οχι τιποτα δηλαδη ..για να μην εχεις απορειες με τον σουρεαλισμο
...καλησπερα...

museum είπε...

@ Ανώνυμος

Άγνωστε φίλε μου, σε ευχαριστώ ειλικρινά για τα καλά σου λόγια, εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Ναι, μου αρέσει που ζω και εργάζομαι στην πόλη που γεννήθηκα, μου αρέσουν οι παραδόσεις και οι ρίζες μου, χωρίς αυτό να με εμποδίζει να εμπλουτίζω και να προεκτείνω την σκέψη μου σαν να είχα ταξιδέψει και ζήσει αλλού. Ο γεωμετρικός ”εικονικός” μας κόσμος είναι στα αλήθεια συναρπαστικός. Πάνω από όλα μία διαρκής προσπάθεια ανακάλυψης του εαυτού μας, της ψυχής μας, σαν τα γεωμετρικά όργανα σχεδίασης.

museum είπε...

@ issallos

Καλώς ήρθες ταξιδιώτη μου. Έλα να ξαποστάσεις, τι να σε κεράσω; Θέλεις τον γεωμετρικό τόπο των σημείων της διχοτόμου; Ή μήπως κάτι πιο σπέσιαλ στο μενού όπως ή περιφέρεια των εννέα σημείων του Euler (πιάτο της ημέρας, διαχρονικά).

Θέλω όμως και λίγη βοήθεια γιατί έχω πελαγώσει. Έλα να κατασκευάσουμε τρίγωνο ΑΒΓ από τα στοιχεία α, υα και β:γ=λ:μ, όπου λ, μ δοσμένα ευθύγραμμα τμήματα. Έχεις κανόνα και διαβήτη ή να σου δώσω εγώ;

Καλώς ήρθες στον μοναδικό κόσμο των σχημάτων, των σκέψεων και της ψυχής.
Να είσαι καλά, θα ανταποδώσω την επίσκεψη.

panagiota είπε...

Σας διαβάζω και σας χαίρομαι εδώ και μέρες και δεν μιλάω!
Αλλωστε τι να πω?
Πρώτη η Σίλια τα είπε όλα και μετά οι υπόλοιποι.
Παρ' ολο που δεν είχα πρόβλημα στο σχολειο με τα μαθηματικά μόνο δύο "άλυτα" θα σου έγραφα φίλε μου.
Αλλά είμαι και άτυχη μαζί που δεν μιλάω καλά Αγγλικά (και ούτε λέξη γερμανικά) για να καταλάβω επαρκώς τον σύντροφο της ανιψιάς μου, που 2 καλοκαίρια τώρα μου κάνει "φροντιστήριο" επάνω στην φιλοσοφία των μαθηματικών.
Πως να καταλάβω εγώ τον Ιβάν που διδάσκει φιλοσοφία των μαθηματικών στο πανεπιστήμιο στην Γερμανία?
Είμαι ή δεν είμαι άτυχη?

Μου συνέστησε όμως να διαβάσω το βιβλίο "το θεώρημα του παπαγάλου"
Το άρχισα ...αλλά να δω πότε θα το τελειώσω.

Με την αγάπη μου σε όλους όσους προσπαθούν να τετραγωνίσουν τον κύκλο.

museum είπε...

@ panagiota

Γεια σου αγαπητή. Χαίρομαι που σου αρέσει το θέμα μου. Να σου πω ότι προέκυψε όταν ξεφύλλιζα ένα βιβλίο Γεωμετρίας και διάβασα αυτό που έλεγε για την ψυχή. Μην νομίσεις πως έκανα τέτοιες σκέψεις μικρός στο Γυμνάσιο και το Λύκειο, απλά μου άρεσε πολύ το μάθημα το συγκεκριμένο. Πες στον Ιβάν αν μπορεί να σου βρει αντίστοιχα κείμενα ανάλυσης και σύνδεσης της φιλοσοφίας με την Γεωμετρία στα Ελληνικά. Υπάρχουν οπωσδήποτε.

Για να σε ευχαριστήσω ας σου πω και κάτι άλλο που διάβασα: Ξέρεις γιατί οι Αρχαίοι σχεδίαζαν με τον κανόνα και τον διαβήτη;

Γιατί οι πρώτες εικόνες που υπέπεσαν στην αντίληψη τους ήταν οι ευθείες ακτίνες του φωτός και οι κύκλοι της σελήνης και του ήλιου.

Καλό σου απόγευμα!